Teorija

2. Tjedan

• Lekcija: Elektrostatičko polje, raspodjela naboja i Gaussov zakon

---

1. Elektrostatičko polje

1.1. Definicija elektrostatičkog polja

Elektrostatičko polje opisuje prostor oko električnog naboja unutar kojega drugi električni naboj osjeća silu zbog postojanja tog “izvora” polja.

• Mat. interpretacija: ako imamo naboj $Q$ stacionaran u prostoru, svaki drugi naboj $q$ unutar tog prostora biti će podvrgnut elektrostatičkoj sili.
• Primjer: polje oko točkastog naboja ($Q$) ili sustava naboja (npr. više točkastih naboja raspoređenih u prostoru).

1.2. Vektorska priroda elektrostatičkog polja

• Jakost elektrostatičkog polja (oznaka: $\vec{E}$) definira se po jedinici testnog naboja:

  $$\vec{E}(\vec{r}) \;=\; \frac{\vec{F}(\vec{r})}{q},$$

  gdje je $\vec{F}(\vec{r})$ elektrostatička sila na “testni” naboj $q$ postavljen u točku $\vec{r}$.

• Jedinica jakosti električnog polja je

  $$\mathrm{N/C} \;\text{(Newton po Coulombu)} \quad\text{ili}\quad \mathrm{V/m} \;\text{(Volt po metru)}.$$

• Kao vektorska veličina, $\vec{E}$ ima smjer (u koji bi se kretao pozitivni testni naboj) i magnitudu (intenzitet sile po coulombu).

1.3. Vizualizacija električnog polja

• Linije sila (električne silnice):
  • Prikazuju geometrijski smjer polja.
  • Za pozitivni izvorni naboj, linije idu od naboja.
  • Za negativni izvorni naboj, linije idu prema naboju.
• Gustoća linija sila često odražava intenzitet polja (gušće gdje je veći intenzitet).

1.4. Potencijal električnog polja

• Električni potencijal $V$ u točki u prostoru definiran je kao skalarna veličina koja opisuje “energiju po jedinici naboja”.
• Veza između potencijala i jakosti polja: $$\vec{E} \;=\; -\,\nabla V,$$ tj. jakost polja je negativni gradijent električnog potencijala.
• Jedinica potencijala je Volt (V).

Primjer:
Ako imamo točkasti naboj $Q$ u vakuumu, onda je

$$V(r) \;=\; k\,\frac{Q}{r}, \quad\text{gdje}\quad k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}.$$

Tada se $E(r)$ dobije deriviranjem:

$$E(r) = -\,\frac{dV}{dr} \;=\; k\,\frac{Q}{r^2}.$$

---

2. Raspodjela naboja

2.1. Vrste raspodjele naboja

U praksi, naboji nisu uvijek koncentrirani u jednu točku. Često su raspoređeni duž linija, po površinama ili unutar volumena.

1. Točkasti naboj

   • Idealizirani model gdje je sav naboj “u jednoj točki”.
   • Koristan za opis “malih” nabijenih čestica (npr. elementarnih čestica) ili objekata ako su dimenzije sustava znatno manje od relevantnih razmaka.

2. Linearni naboj

   • Oznaka: $\lambda$ (Coulomb po metru, $\mathrm{C/m}$).
   • Primjer: dugačak tanki nabijeni vodič.

3. Površinski naboj

   • Oznaka: $\sigma$ (Coulomb po kvadratnom metru, $\mathrm{C/m^2}$).
   • Primjer: nabijena ploča (tankog provodnika), sfera ili cilindar.

4. Volumni naboj

   • Oznaka: $\rho$ (Coulomb po kubičnom metru, $\mathrm{C/m^3}$).
   • Primjer: nabijeni oblak plazme, raspodjela naboja unutar punog volumena vodiča ili dielektrika.

2.2. Utjecaj raspodjele naboja na polje

• Za različite simetrije raspodjele, možemo pojednostaviti računanje polja.
• Posebni slučajevi:
  • Beskonačna ravnina naboja: polje je konstantno i okomito na ploču.
  • Cilindrična raspodjela (beskonačni nabojeni cilindar): polje ovisi o radijusu (koristi se Gaussov zakon).
  • Sferna raspodjela: polje se ponaša kao polje točkastog naboja (van sfere) ili nula unutar provodljive sfere.

2.3. Primjeri raspodjele naboja

1. Električni dipol: dva naboja +$Q$ i $-Q$ razmaknuti malom udaljenošću $d$.
2. Ravnina naboja (beskonačna ploča s gustoćom $\sigma$).
3. Cilindrična ili sferična raspodjela.

---

3. Gaussov zakon

3.1. Izjava Gaussova zakona

Gaussov zakon kaže da je ukupni električni tok kroz zatvorenu površinu jednak ukupnom naboju unutar te površine podijeljenom s $\varepsilon_0$.

Matematički:

$$\oint_{\text{površina }S} \vec{E}\,\cdot\,d\vec{A} \;=\; \frac{Q_{\text{unutar}}}{\varepsilon_0}.$$

• $\vec{E} \cdot d\vec{A}$ znači skalarni produkt jakosti polja i elementa vektora površine (normalnog na površinu).
• $Q_{\text{unutar}}$ je zbroj svih naboja unutar te zatvorene površine.
• $\varepsilon_0$ je dielektrična permitivnost vakuuma.

3.2. Električni tok kroz površinu

• Električni tok $\Phi_E$ definira se kao $$\Phi_E \;=\; \oint \vec{E}\,\cdot\,d\vec{A}.$$
• Ako je $\vec{E}$ homogen i okomit na ravnu površinu $A$, tada je $\Phi_E = E\,A$.
• Za složenije geometrije, treba integrirati preko površine.

3.3. Primjena Gaussova zakona

Sferna simetrija

Primjer: Točkasti naboj $Q$ u središtu sferne Gaussove površine polumjera $r$.

• Polje ima sfernu simetriju: $|\vec{E}| = E(r)$ ovisi samo o $r$.
• Gaussov zakon: $$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}.$$ Odavde: $$E(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\, r^2},$$ što je upravo Coulombov zakon za jakost polja točkastog naboja.

Cilindrična simetrija

Primjer: beskonačni nabijeni cilindar (linearna gustoća $\lambda$ ili volumna gustoća $\rho$).

• Odabere se Gaussova površina kao cilindar su-osno s tim nabijanim cilindrom.
• Polje izlazi radijalno, pa se integrira samo po plaštu cilindra, ne i po bazama.

Ravna beskonačna ploča

• Polje je konstantno i okomito na ploču, pa $\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}$ daje jednostavno $E \cdot 2A$ (gore i dolje), a to se izjednačuje s $\frac{Q_{\text{unutar}}}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$.

3.4. Veza Gaussova zakona i Coulombova zakona

• Kao što je naznačeno, u slučaju sferne simetrije, Gaussov zakon izravno dovodi do Coulombova zakona.
• Coulombov zakon se može smatrati specijalnim slučajem Gaussova zakona primijenjenog na sfernu raspodjelu naboja (ili na točkasti naboj, koji je “mini sfera”).

3.5. Gaussov zakon u dielektričnim medijima

• Kod materijala s relativnom permitivnošću $\varepsilon_r$, imamo $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$.
• Gaussov zakon: $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} \;=\; \frac{Q_{\text{unutar}}}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}.$$
• Polje se “smanjuje” faktorom $\varepsilon_r$ (slabeći Coulombovu silu i polje).

---

Primjeri

Primjer 1: Sferna simetrija

Neka je naboj $Q$ ravnomjerno raspoređen na kugli polumjera $R$. Kolika je jakost polja:

1. Izvan kugle $(r>R)$?
2. Unutar kugle $(r<R)$? – Ako je to prazna sferna ljuska vs. ako je puna kugla naboja.

Rješenje (skraćeni prikaz)

1. Vanjska točka $(r>R)$
   Gaussova površina je sfera polumjera $r$. Ukupni naboj unutar te Gaussove površine je $Q$.

   $$E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad \Longrightarrow \quad E(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\,r^2}.$$

   (Isto kao polje točkastog naboja.)

2. Unutarnja točka

   • Ako je to tanka sferna ljuska (sav naboj na oplošju): unutar ljuske $(r<R)$ nema ukupnog naboja unutar Gaussove površine. Dakle $E(r)=0$.
   • Ako je to puna kugla gustoće $\rho$: tada je $\rho = Q / \frac{4}{3}\pi R^3$. Unutar polumjera $r<R$, naboj je proporcionalan volumenu: $Q_{\text{unutar}} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$. $$E(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho \,\frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{1}{\varepsilon_0}\,\frac{\rho\,r}{3}.$$ Raščlanjeno do: $E(r) = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0\, R^3}\,\times r$. Znači, linearan porast s $r$ dok ne dođemo do polumjera $R$.

Primjer 2: Ravna beskonačna ploča naboja

• Gustoća naboja $\sigma$ (C/m$^2$).
• Gaussova površina: prizma (cilindrična “kutija”) koja siječe ploču. Polje je normalno na ploču i konstantno s obje strane.
• Rezultat: $$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},$$ gdje faktor 2 dolazi od činjenice da postoji polje s obje strane ploče.

Primjer 3: Električni dipol

• Sastoji se od naboja $+Q$ i $-Q$ razmaka $d$.
• Dipolni moment definira se kao $\vec{p} = Q \vec{d}$.
• Gaussov zakon kaže da je neto naboj dipola 0, pa ukupni tok oko dipola=0. Ipak, polje na daljinu nije nula, samo se brže raspada ($\sim 1/r^3$ za velike $r$).

---

Zaključak

• Elektrostatičko polje je vektorska veličina koja opisuje kako se “širi” utjecaj jednog ili više nabijenih tijela u prostoru.
• Raspodjela naboja može biti točkasta, linearna, površinska ili volumna. Ovisno o geometrijskoj simetriji, možemo lakše (ili teže) izračunavati polje.
• Gaussov zakon je moćan alat za računanje polja u slučajevima visoke simetrije (sferna, cilindrična, ravnina). On povezuje tok električnog polja i ukupni naboj unutar zatvorene površine.
• Iz Gaussova zakona proizlazi Coulombov zakon kao poseban slučaj (sferna simetrija).
• U dielektričnim medijima polje se korigira faktorom $\varepsilon_r$.

Vježbe

Auditorne vježbe: Elektrostatičko polje

---

Kratki teorijski podsjetnik

• Elektrostatičko polje definira se oko mirujućih električnih naboja.

• Jakost električnog polja $\vec{E}$ u točki je sila na probni naboj $q$ (u $\mathrm{C}$) podijeljena s tim nabojem:

  $$\vec{E}(\vec{r}) = \frac{\vec{F}}{q}.$$

• U vakuumu i za točkasti naboj $Q$, Coulombov zakon daje:

  $$|\vec{E}(r)| = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \,\frac{|Q|}{r^2},$$

  dok je smjer polja radijalan (od nabijenog tijela ako je naboj pozitivan, ili prema njemu ako je negativan).

• U prisutnosti više naboja, superpozicijom zbrajamo vektorski doprinose svakog naboja.

• Potencijal $V$ i polje $\vec{E}$ vezani su relacijom:

  $$\vec{E} = - \nabla V.$$

• U medijima s relativnom permitivnošću $\varepsilon_r$, polje i sila su smanjeni faktorom $\varepsilon_r$.

---

Zadatak 1: Polje dvaju točkastih naboja

Tekst: Dva točkasta naboja nalaze se u vakuumu:

• $Q_1 = 2\,\mu\mathrm{C}$ na točki $(x_1, y_1) = (0, 0)$,
• $Q_2 = -4\,\mu\mathrm{C}$ na točki $(x_2, y_2) = (0.30\,\mathrm{m}, 0)$.

Pronađite jakost električnog polja $\vec{E}$ u točki $P$ s koordinatama $(0.15\,\mathrm{m}, 0.20\,\mathrm{m})$. Odredite i veličinu i smjer resultantnog polja.

Rješenje (korak po korak)

1. Pretvorba u SI jedinice

   • $Q_1 = 2\times10^{-6}\,\mathrm{C}$, $Q_2 = -4\times10^{-6}\,\mathrm{C}$.
   • Koordinate: $$Q_1 \rightarrow (0,0), \quad Q_2 \rightarrow (0.30,0), \quad P \rightarrow (0.15,0.20).$$
   • Konstanta $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \approx 8.9875\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$.

2. Vektori udaljenosti

   • Vektor $\vec{r}_{1P} = P - Q_1 = (0.15 - 0, 0.20 - 0) = (0.15, 0.20)$.
     • Duljina: $$r_{1P} = \sqrt{(0.15)^2 + (0.20)^2} = \sqrt{0.0225 + 0.04} = \sqrt{0.0625} = 0.25\,\mathrm{m}.$$
   • Vektor $\vec{r}_{2P} = P - Q_2 = (0.15 - 0.30, 0.20 - 0) = (-0.15, 0.20)$.
     • Duljina: $$r_{2P} = \sqrt{(-0.15)^2 + 0.20^2} = \sqrt{0.0225 + 0.04} = \sqrt{0.0625} = 0.25\,\mathrm{m} \quad(\text{zanimljivo i }r_{2P}=0.25\,\mathrm{m}).$$

3. Jakost polja od $Q_1$ u točki $P$

   • Formula (u vektorskom obliku): $$\vec{E}_1(P) = k \,\frac{Q_1}{r_{1P}^2}\,\hat{u}_{1P},$$ gdje je $\hat{u}_{1P}$ jedinični vektor od $Q_1$ do $P$ (ili suprotno ako je naboj negativan).
     • Budući da je $Q_1 > 0$, polje “zrači” od $Q_1$. Dakle, vektor ide od $Q_1$ prema $P$.
   • Numerički: $$|\vec{E}_1| = k \frac{|Q_1|}{(0.25)^2} = 8.9875\times10^9 \times \frac{2\times10^{-6}}{0.0625} = 8.9875\times10^9 \times \left(\frac{2\times10^{-6}}{0.0625}\right).$$
     • $\frac{2\times10^{-6}}{0.0625} = 2\times10^{-6}\times \frac{1}{0.0625} = 2\times10^{-6}\times 16 = 3.2\times10^{-5}.$
     • Dakle, $$|\vec{E}_1| = 8.9875\times10^9 \times 3.2\times10^{-5} = 8.9875\times3.2 \times10^{9-5} = 28.76\times10^4 = 2.876\times10^5\,\mathrm{V/m} \quad(\approx).$$
   • Smjer $\hat{u}_{1P}=\dfrac{(0.15,0.20)}{0.25} = (0.6, 0.8)$.
   • Vektorski: $$\vec{E}_1 = 2.876\times10^5\, (0.6, 0.8)\,\mathrm{V/m} \approx (1.7256\times10^5,\; 2.3008\times10^5)\,\mathrm{V/m}.$$

4. Jakost polja od $Q_2$ u točki $P$

   • $Q_2 = -4\,\mu\mathrm{C}$ → polje “ide” prema naboju (jer je negativan).
   • Magnituda: $$|\vec{E}_2| = k \,\frac{|Q_2|}{r_{2P}^2} = 8.9875\times10^9 \times \frac{4\times10^{-6}}{(0.25)^2}.$$
     • $\frac{4\times10^{-6}}{0.0625} = 4\times10^{-6}\times16=6.4\times10^{-5}.$
     $$|\vec{E}_2| = 8.9875\times10^9 \times 6.4\times10^{-5} = 8.9875\times6.4 \times10^{9-5} = 57.52\times10^4 = 5.752\times10^5\,\mathrm{V/m}\quad(\approx).$$
   • Smjer: vektor ide prema $\vec{r}_{2P}$ ako je naboj negativan, to znači iz $P$ prema $Q_2$. No $\vec{r}_{2P}=( -0.15, 0.20)$ je vektor od $Q_2$ do $P$.
     • Za polje u točki $P$, usmjereno prema $-Q_2$, vektor $\vec{E}_2$ je suprotnog smjera od $\vec{r}_{2P}$.
     • Jedinični vektor od $P$ prema $Q_2$ je $-\hat{u}_{2P}$ ako $\hat{u}_{2P}$ definira od $Q_2$ do $P$.
     • Najkraće: $\hat{u}_{2P}$ (od $Q_2$ do $P$) je $\dfrac{(-0.15,0.20)}{0.25} = (-0.6,0.8)$. No polje od $-Q_2$ u točki $P$ ide “suprotnim” smjerom, dakle $(+0.6,-0.8)$.
   • Vektorski: $$\vec{E}_2 = 5.752\times10^5 \times (0.6, -0.8)\,\mathrm{V/m} \approx (3.4512\times10^5,\; -4.6016\times10^5).$$

5. Rezultantno polje

   $$\vec{E}_{\mathrm{uk}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2.$$

   Numerički:

   • $\vec{E}_1 \approx (1.7256\times10^5,\; 2.3008\times10^5)$.
   • $\vec{E}_2 \approx (3.4512\times10^5,\; -4.6016\times10^5)$.
   • Zbroj: $$E_{x,\text{uk}} = 1.7256\times10^5 + 3.4512\times10^5 = 5.1768\times10^5,$$ $$E_{y,\text{uk}} = 2.3008\times10^5 + (-4.6016\times10^5) = -2.3008\times10^5.$$

   Dakle,

   $$\vec{E}_{\mathrm{uk}} \approx (5.18\times10^5,\;-2.30\times10^5)\,\mathrm{V/m}.$$

6. Veličina i smjer

   • Veličina: $$E_{\mathrm{uk}} = \sqrt{(5.18\times10^5)^2 + (-2.30\times10^5)^2}.$$ $\approx \sqrt{(5.18^2 + 2.30^2)\times10^{10}} = \sqrt{26.8324 + 5.29}\times10^5 = \sqrt{32.1224}\times10^5 \approx 5.67\times10^5\,\mathrm{V/m}.$
   • Kut $\theta$ u odnosu na +x-os: $$\theta = \tan^{-1}\bigl(\frac{E_y}{E_x}\bigr) = \tan^{-1}\Bigl(\frac{-2.30\times10^5}{5.18\times10^5}\Bigr) \approx \tan^{-1}(-0.444).$$ $\approx -23.9^\circ$ (ispod x-osi).

Odgovor:
Rezultantno polje u točki $P$ ima veličinu $\approx 5.67\times10^5\,\mathrm{V/m}$ i smjer $\approx 24^\circ$ ispod pozitivne x-osi (jer je y-komponenta negativna).

---

Zadatak 2: Polje ravnine naboja

Tekst: Ploha beskonačnih dimenzija nosi površinski naboj $\sigma= 5\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^2}$. Odredite:

1. Jakost polja $E$ iznad plohe (u zraku/vakuumu).
2. Udaljenost od plohe u kojoj je potencijal $\Delta V= 200\,\mathrm{V}$ manji nego na ploči (pretpostavimo smjer polja normalno na ploču).

Rješenje (korak po korak)

1. Polje beskonačne ploče (u vakuumu) ima konstantnu vrijednost:

   $$E = \frac{\sigma}{2\,\varepsilon_0}.$$

   (Ako je ploča samo s jednom stranom nabijena. Ako je dvostrano, bilo bi $\sigma/\varepsilon_0$.)

2. Numeričko:

   • $\sigma= 5\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^2}$.
   • $\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$.
   $$E = \frac{5\times10^{-6}}{2\times(8.854\times10^{-12})} = \frac{5\times10^{-6}}{1.7708\times10^{-11}}.$$
   • $\frac{5\times10^{-6}}{1.7708\times10^{-11}}= \frac{5}{1.7708}\times10^{(-6 + 11)}= 2.825\times10^5\,\mathrm{V/m}\approx 2.83\times10^5.$

3. Udaljenost za $\Delta V=200\,\mathrm{V}$

   • Relacija $\Delta V = - E \,\Delta x$ ako je polje konstantno i usmjereno normalno.
   • Ovdje, $\Delta V= 200\,\mathrm{V}$, $E=2.83\times10^5\,\mathrm{V/m}$.
   $$\Delta x= \frac{\Delta V}{E} = \frac{200}{2.83\times10^5} \,\mathrm{m} \approx 7.06\times10^{-4}\,\mathrm{m}.$$

Odgovor:

1. $E\approx 2.83\times10^5\,\mathrm{V/m}$ konstanta iznad ploče.
2. Da pad potencijala bude $200\,\mathrm{V}$, trebamo se udaljiti $\approx 0.71\,\mathrm{mm}$ od ploče.

---

Zadatak 3: Polje u šupljini nabijene sfere

Tekst: Neka je sfera polumjera $R=0.10\,\mathrm{m}$ ravnomjerno nabijena gustoćom $\rho= 2.0\times10^{-5}\,\mathrm{C/m^3}$. Za točku unutar sfere, na radijusu $r=0.05\,\mathrm{m}$ od središta, odredite jakost polja $E(r)$.

Rješenje (Gaussov zakon, korak po korak)

1. Gaussova površina: sferna ljuska radijusa $r=0.05\,\mathrm{m}$.

2. Ukupan naboj unutar polumjera $r$:

   $$Q_{\text{unutar}} = \rho \times \Bigl(\frac{4}{3}\pi r^3\Bigr) = 2.0\times10^{-5}\times \frac{4}{3}\pi (0.05)^3.$$
   • Numerika: $(0.05)^3=1.25\times10^{-4}$.
     $\frac{4}{3}\pi (1.25\times10^{-4})\approx 1.67\times10^{-4}$ (približno).
     Dakle,
   $$Q_{\text{unutar}}= 2.0\times10^{-5}\times1.67\times10^{-4} = 3.34\times10^{-9}\,\mathrm{C}.$$

3. Gaussov zakon:

   $$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = E(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{unutar}}}{\varepsilon_0}.$$

   Odatle:

   $$E(r)= \frac{Q_{\text{unutar}}}{4\pi \varepsilon_0\,r^2}.$$
   • Uvrsti: $$Q_{\text{unutar}}=3.34\times10^{-9}, \quad r=0.05,\quad \varepsilon_0=8.854\times10^{-12}.$$
   $$E(r)= \frac{3.34\times10^{-9}}{4\pi \times8.854\times10^{-12}\times(0.05)^2}.$$
   • Razlomak u nazivniku: $(0.05)^2= 2.5\times10^{-3}$.
   • $4\pi\approx 12.566.$
   $$(4\pi)(8.854\times10^{-12})(2.5\times10^{-3}) = 12.566\times8.854\times2.5 \times10^{-12-3} = (12.566\times8.854\times2.5)\times10^{-15}.$$

   Numerika: $12.566\times8.854\approx111.2,$ pa $\times2.5\approx278,$ otprilike.
   $\approx 2.78\times10^2\times10^{-15}= 2.78\times10^{-13}.$

   Dakle:

   $$E(r)\approx \frac{3.34\times10^{-9}}{2.78\times10^{-13}}= \frac{3.34}{2.78}\times10^{(-9+13)}= 1.20\times10^4 \,\mathrm{V/m}.$$

   $\approx 1.2\times10^4\,\mathrm{V/m}$.

Odgovor:
Unutar sfere, na $r=0.05\,\mathrm{m}$, jakost polja je $\approx 1.2\times10^4\,\mathrm{V/m}$.

---

Zadatak 4: Električni dipol – polje na osi dipola

Tekst: Imamo dipol s +$Q$ i $-Q$, razmaknutih za $d$. Zanima nas jakost polja na osi dipola, daleko od dipola ($r \gg d$). Prikažite skraćeno derivaciju i recite kako se $E$ mijenja s $r$.

Rješenje (konceptualno uz kratke korake)

1. Dipol: Naboji $\pm Q$, udaljeni $d$. Dipolni moment $\vec{p}=Q\,\vec{d}$.
2. Točka P: na osi dipola, u daljini $r\gg d$.
3. Contributions: polje od +$Q$ i od $-Q$. Koriste se superpozicija i ekspanzija: $\frac{1}{(r\pm \frac{d}{2})^2}\approx \frac{1}{r^2}\mp \frac{d}{r^3}\dots$.
4. Result: $$E_{\text{dipol, osi}} \propto \frac{p}{\varepsilon_0\,r^3}.$$ – raste s dipolnim momentom $p$ i opada s $r^3$.

Zaključak: polje dipola u velikoj daljini pada brže od polja točkastog naboja (koje je $\sim1/r^2$).

---

Zadatak 5: Numerički primjer dipola

Tekst: Neka je dipol s $\pm5\,\mu\mathrm{C}$ razmaknut $d=0.02\,\mathrm{m}$. Kolika je jakost polja na osi dipola u točki udaljenoj $r= 0.20\,\mathrm{m}$ od središta dipola?

Rješenje (uputa)

1. Dipolni moment:

   $$p= Q\,d= (5\times10^{-6})\times0.02= 1.0\times10^{-7}\,\mathrm{C\,m}.$$

2. Približna formula na osi (za $r\gg d$):

   $$E\approx \frac{1}{2\pi \varepsilon_0}\,\frac{p}{r^3} \quad(\text{detaljnija derivacija daje } E_{\text{osi}}= \frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\frac{p}{r^3}, \text{ za centar dipola }).$$
   • (Napomena: neka izvori pišu $\frac{2p}{4\pi\varepsilon_0\,r^3}$= $\frac{p}{2\pi\varepsilon_0\,r^3}$.)

3. Numerički:
   $\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}$.

   $$E= \frac{p}{2\pi\varepsilon_0\,r^3}.$$
   • $r^3=(0.20)^3= 8.0\times10^{-3}.$
   • $2\pi\approx6.283.$
   $$E= \frac{1.0\times10^{-7}}{6.283\times8.854\times10^{-12}\times8.0\times10^{-3}}.$$
   • Skupljajući potencije, dobit ćemo red veličine $\sim 10^4\,\mathrm{V/m}$.
     (Cilj je pokazati klasični $\frac{1}{r^3}$ pad.)

---

Zaključci

• Kod računanja elektrostatičkog polja uvijek vrijedi princip superpozicije – vektorski se zbrajaju pojedinačna polja od svakog naboja ili dijela raspodjele.
• Gaussov zakon ili Coulombov zakon koriste se ovisno o simetriji i vrsti raspodjele naboja:
  • Sferna i cilindrična simetrija → Gaussov zakon često olakšava rješenje.
  • Nepotpuna simetrija → obično se zbrajaju doprinose točkastih naboja ili integriraju gustoće naboja.
• Primjeri poput beskonačne ravnine, beskonačnog cilindra, sferne ljuske i dipola najčešći su u analizi osnovnih elektrostatičkih pojava.

Ispit

Kako se definira jakost elektrostatičkog polja $\vec{E}$ u točki $\vec{r}$?

$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q}$

$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$

$\vec{E} = \vec{F} \times q$

$\vec{E} = \vec{F} + q$

Koja je jedinica jakosti električnog polja?

$\text{C/m}^2$

$\text{N/C}$

$\text{V}$

$\text{J}$

Kako se jakost električnog polja $\vec{E}$ odnosi na električni potencijal $V$?

$\vec{E} = \nabla V$

$\vec{E} = -\nabla V$

$\vec{E} = V \cdot \vec{r}$

$\vec{E} = \frac{V}{\vec{r}}$

Koji je izraz za jakost električnog polja oko točkastog naboja $Q$ u vakuumu na udaljenosti $r$?

$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$

$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$

$E = \frac{4\pi \varepsilon_0 r^2}{Q}$

$E = \frac{4\pi \varepsilon_0 r}{Q}$

Što Gaussov zakon kaže o ukupnom električnom toku kroz zatvorenu površinu?

Ukupni tok je jednak proizvodu jakosti polja i površine.

Ukupni tok je jednak ukupnom naboju unutar površine pomnoženom s $\varepsilon_0$.

Ukupni tok je jednak ukupnom naboju unutar površine podijeljenom s $\varepsilon_0$.

Ukupni tok je jednak nuli ako je površina neutralna.

Koja je jakost električnog polja unutar šuplje sferne ljuske s ravnomjerno raspoređenim nabojem?

$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$

$E = \frac{Q}{\varepsilon_0 R^3} r$

$E = 0$

$E = \frac{\rho}{3\varepsilon_0} r$

Kako se električno polje beskonačne ravnine naboja s gustoćom $\sigma$ mijenja u odnosu na smjer normalan na ploču?

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

$E = 2\pi \sigma \varepsilon_0$

$E = \frac{\varepsilon_0}{2\sigma}$

Koja je veza između dipolnog momenta $\\vec{p}$ i jakosti električnog polja $E$ na osi dipola na velikoj udaljenosti $r$?

$E \propto \frac{p}{r^2}$

$E \propto \frac{p}{r^3}$

$E \propto \frac{p}{r}$

$E \propto p r$

Koji od sljedećih primjera prikazuje volumnu raspodjelu naboja?

$\text{Beskonačna ravnina naboja}$

$\text{Točkasti naboj}$

$\text{Linearni naboj}$

$\text{Naboj unutar sferne kugle}$

Kako Gaussov zakon pojednostavljuje računanje električnog polja kod sferne simetrije?

Omogućava izračunavanje polja samo na površini sferne ljuske.

Pretpostavlja da je polje jednoliko kroz cijelu površinu.

Omogućava izravno izvođenje Coulombova zakona.

Ne primjenjuje se na sfernu simetriju.

Što se događa s električnim poljem unutar pune sferne kugle s ravnomjerno raspoređenom volumnom gustoćom naboja?

$E$ raste linearno s $r$

$E$ ostaje konstantno

$E$ pada s $\frac{1}{r^2}$

$E$ je nula